МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Методичні вказівки до лабораторної роботи № 5 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів базових напрямів і 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації", 6.170103 "Управління інформаційною безпекою" Затверджено на засіданні кафедри «Безпека інформаційних технологій» Протокол № 12 від 12.05.2011р. Львів – 2011 Метод Ньютона для розв’язування систем нелінійних рівнянь: Методичні вказівки до лабораторної роботи №5 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації", 6.170103 "Управління інформаційною безпекою" / Укл.: Л.В. Мороз, А.Я. Горпенюк, Н.М. Лужецька - Львів: Видавництво НУ“ЛП”, 2011.- 12 с. Укладачі: Л.В. Мороз, к.т.н., доц. А.Я. Горпенюк, к.т.н., доц. Н.М. Лужецька, асист. Відповідальний за випуск: В.М. Максимович, д.т.н., проф. Рецензент: В.В. Хома, д.т.н., проф. А.Е. Лагун, к.т.н., доц., Мета роботи - ознайомлення з найпоширенішим ітераційним методом розв’язування систем нелінійних рівнянь – методом Ньютона. Вступ Систему нелінійних рівнянь можна зобразити у вигляді
Тобто як
функцій
від
невідомих
, причому функції
не обов’язково лінійно залежить від змінних
. Позначимо вектор змінних через
, а вектор функції через
. Тоді систему (1) можна записати у формі.
(1) Завдання полягає в тому, щоб знайти розв’язок цієї системи. Слід сказати, що на даний час не існує математичної теорії, яка дозволяла б у загальному вигляді розв’язати питання про існування та число розв’язків системи (2). Їх може не бути зовсім, може бути один, декілька або нескінчена множина [3]. Крім того, важливою особливістю системи нелінійних рівнянь є те, що для їх розв’язків не можна використати прямі методи, зокрема, метод послідовного виключення невідомих. Усі розробленні методи є ітераційними, а найефективнішим і широко вживаним є метод Ньютона. 1. Стандартний метод Ньютона Метод Ньютона базується на лінеаризації задачі і заміні розв'язування нелінійної системи (2) на послідовність розв'язувань лінійних систем (найчастіше прямими методами). Будемо вважати, що система рівнянь (2) має розв'язок; позначимо його через вектор
і розкладемо кожну функцію в ряд Тейлора в околі розв'язку
(2) де
- члени другого і вищих порядків. Вважаючи, що
дуже близьке до
, знехтуємо членами вищих порядків і запишемо систему рівнянь в лінеаризованій формі:
(3) або в іншому вигляді
(4) де
– матриця Якобі (якобіан) системи (1) Враховуючи, що
є розв'язком системи, згідно з (2) можемо записати:
Звідси випливає, що і праву частину (4) також можна прирівняти до нуля:
(5) Розв'язком системи (5) є нове значення вектора X, яке не точно дорівнює значенню вектора
(оскільки знехтували членами другого і вищих порядків). Використовуючи верхні індекси для позначення послідовності ітерацій, можна записати
(6) Звідси
(7) де
- обернена матриця Якобі;
. У достатньо широкому околі розв'язку
ітераційний процес (7) збігається, якщо
. Ітераційний процес закінчується при виконанні умови
(8) де Σ - задана гранична похибка уточнень коренів системи (1). Таким чином, алгоритм стандартного методу Ньютона можна розбити на декілька кроків. Крок 1. Вибір вектора початкових уточнень
. Крок 2. Обчислення елементів матриці Якобі. Крок 3. Обчислення елементів оберненої матриці Якобі. Крок 4. Перемноження значень функції (див. формулу (7))
Крок 5. Одержаний на кроці 4 вектор віднімається від вектора
, у результаті чого одержується покращений вектор розв'язку
. Крок 6. Перевірка умови закінчення ітерацій (8). Якщо вона не виконується, то за вектор початкових уточнень приймається вектор
і проводиться наст...